Question

18．已知向量$\overrightarrow m$=（sin x，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow n$=（sinx，-cosx），設函數$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，若函數g（x）=-f（-x）．
（Ⅰ）求函數g（x）在區間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值，并求出此時x的取值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{12}$）+g（$\frac{π}{12}$+$\frac{A}{2}$）=-$\sqrt{3}$，b+c=7，bc=8，求邊a的長．

Answer 1

分析 （I）求出函數f（x）的解析式，并利用輔助角（和差角）公式化為正弦型函數，進而可得函數g（x）的解析式，進而可得函數g（x）在區間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值，及最大值點；
（Ⅱ）根據f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{12}$）+g（$\frac{π}{12}$+$\frac{A}{2}$）=-$\sqrt{3}$，b+c=7，bc=8，解三角形，可得邊a的長．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow m$=（sin x，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow n$=（sinx，-cosx），
∴函數$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$=sin²x-$\sqrt{3}$sinxcosx=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=$\frac{1}{2}$-sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴g（x）=-f（-x）=-[$\frac{1}{2}$-sin（-2x+$\frac{π}{6}$）]=sin（2x+$\frac{5π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
當x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]時，2x+$\frac{5π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
故當2x+$\frac{5π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=-$\frac{π}{6}$時，函數取最大值$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）∵f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{12}$）+g（$\frac{π}{12}$+$\frac{A}{2}$）
=$\frac{1}{2}$-sin[2（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$）]+sin[2（$\frac{π}{12}$+$\frac{A}{2}$）+$\frac{5π}{6}$]-$\frac{1}{2}$
=-2sinA
=-$\sqrt{3}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則cosA=$±\frac{1}{2}$，
∵b+c=7，bc=8，
∴當cosA=$-\frac{1}{2}$時，a²=b²+c²+bc=（b+c）²-bc=41，此時a=$\sqrt{41}$，
當cosA=$\frac{1}{2}$時，a²=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=25，此時a=5．

點評 本題考查的知識點是三角函數的恒等變量，三角函數的圖象和性質，平面向量的數量積運算，難度中檔．