Question

8．已知函數f（x）=|x-1|，g（x）=-|x+3|+a（a∈R）．
（1）若a=6，解不等式f（x）＞g（x）；
（2）若函數y=2f（x）的圖象恒在函數y=g（x）的圖象上方，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）原不等式可化為：|x-1|+|x+3|＞6，分類討論，分別求得不等式的解集；
（2）由題意可得2f（x）-g（x）＞0，即a＜2|x-1|+|x+3|．設h（x）=2|x-1|+|x+3|，利用單調性求的h（x）的最小值，可得a的范圍．

解答 解：（1）原不等式可化為：|x-1|+|x+3|＞6，
①當x＜-3時，不等式即為-（x-1）-（x+3）＞6，解得x＜-4，此時x＜-4；
②當-3≤x＜1時，不等式即為-（x-1）+（x+3）＞6，即4＞6不成立；
③當x≥1時，不等式即為（x-1）+（x+3）＞6，解得x＞2，此時x＞2；
因此，綜上可知所求不等式的解集為{x|x＞2或x＜-4}；
（2）y=2f（x）圖象恒在g（x）圖象上方，
故2f（x）-g（x）＞0，等價于a＜2|x-1|+|x+3|，
設h（x）=2|x-1|+|x+3|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-1，x≤-3}\\{5-x，-3＜x≤1}\\{3x+1，x＞1}\end{array}\right.$，
根據函數h（x）的單調減區間為（-∞，1]、增區間為（1，+∞），
可得當x=1時，h（x）取得最小值為4，
∴a＜4時，函數y=2f（x）的圖象恒在函數y=g（x）的上方．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，利用單調性求函數的最值，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．