Question

20．某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，圖（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺繡最簡單的四個圖案，圖案都是由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮；現按同樣的擺放規律刺繡，設第n個圖形包含a_n個小正方形．
（1）求出a₅的值；
（2）利用歸納推理歸納出a_n+1與a_n之間的關系式，并根據你得到的關系式求出a_n的表達式；
（3）求$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{{{a_2}-1}}+…+\frac{1}{{{a_n}-1}}$的值．

Answer 1

分析 （1）先分別觀察給出正方體的個數為：1，1+4，1+4+8，…從而得出a₅；
（2）將（1）總結一般性的規律：a_n+1與a_n的關系式，再從總結出來的一般性的規律轉化為特殊的數列再求解即得．
（3）利用裂項法求和，即可得出結論．

解答 解：（1）∵a₁=1，a₂=5，a₃=13，a₄=25，
∴a₂-a₁=4=4×1．
a₃-a₂=8=4×2，
a₄-a₃=12=4×3，
a₅-a₄=16=4×4
∴a₅=25+4×4=41．
（2）由上式規律得出a_n+1-a_n=4n．
∴a_n-a₁=4[1+2+…+（n-2）+（n-1）]=2（n-1）•n，
∴a_n=2n²-2n+1．…（12分）
（3）∵$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{{{a_2}-1}}+…+\frac{1}{{{a_n}-1}}$=1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）=$\frac{3}{2}-\frac{1}{2n}$．

點評 本題主要考查歸納推理，其基本思路是先分析具體，觀察，總結其內在聯系，得到一般性的結論，若求解的項數較少，可一直推理出結果，若項數較多，則要得到一般求解方法，再求具體問題．