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17.已知ABCD是矩形,AD=2AB,E,F(xiàn)分別是線段AB,BC的中點(diǎn),PA⊥平面ABCD.
(1)求證:DF⊥平面PAF;
(2)若在棱PA上存在一點(diǎn)G,使得EG∥平面PFD,求$\frac{AG}{AP}$的值.

分析 (1)先由條件證得 AF⊥FD、PA⊥FD.再根據(jù)直線和平面垂直的判定定理證得DF⊥平面PAF.
(2)過點(diǎn)E,作EH∥FD,交AD于點(diǎn)H,再過H作HG∥PD交PA于G,可得平面EHG∥平面PFD,從而證得EG∥平面PFD.由條件求得$\frac{AG}{AP}$的值.

解答 (本題滿分為12分)
解:(1)在矩形ABCD中,因?yàn)锳D=2AB,點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),所以∠AFB=∠DFC=45°.
所以∠AFD=90°,即AF⊥DF.…(3分)
又PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥DF,
所以DF⊥平面PAF.…(6分)
(2)過E作EH∥FD交AD于H,
則EH∥平面PFD,且AH=$\frac{1}{4}$AD.
再過H作HG∥PD交PA于G,…(8分)
所以GH∥平面PFD,且AG=$\frac{1}{4}$PA.
所以平面EHG∥平面PFD,…(10分)
所以EG∥平面PFD,從而點(diǎn)G滿足$\frac{AG}{AP}=\frac{1}{4}$.…(12分)

點(diǎn)評 本題主要考查直線和平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理的應(yīng)用,考查了空間想象能力和推理論證能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ)求證:平面PBE⊥平面PEF;
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(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
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同步練習(xí)冊答案
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