Question

17．已知ABCD是矩形，AD=2AB，E，F(xiàn)分別是線段AB，BC的中點(diǎn)，PA⊥平面ABCD．
（1）求證：DF⊥平面PAF；
（2）若在棱PA上存在一點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD，求$\frac{AG}{AP}$的值．

Answer 1

分析 （1）先由條件證得 AF⊥FD、PA⊥FD．再根據(jù)直線和平面垂直的判定定理證得DF⊥平面PAF．
（2）過點(diǎn)E，作EH∥FD，交AD于點(diǎn)H，再過H作HG∥PD交PA于G，可得平面EHG∥平面PFD，從而證得EG∥平面PFD．由條件求得$\frac{AG}{AP}$的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）在矩形ABCD中，因?yàn)锳D=2AB，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，所以∠AFB=∠DFC=45°．
所以∠AFD=90°，即AF⊥DF．…（3分）
又PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥DF，
所以DF⊥平面PAF．…（6分）
（2）過E作EH∥FD交AD于H，
則EH∥平面PFD，且AH=$\frac{1}{4}$AD．
再過H作HG∥PD交PA于G，…（8分）
所以GH∥平面PFD，且AG=$\frac{1}{4}$PA．
所以平面EHG∥平面PFD，…（10分）
所以EG∥平面PFD，從而點(diǎn)G滿足$\frac{AG}{AP}=\frac{1}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查直線和平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．