Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²-bx（a，b∈R），若y=f（x）圖象上的點（1，-$\frac{11}{3}$）處的切線斜率為-4，
（1）求f（x）的解析式．
（2）求y=f（x）的極大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求出函數(shù)的解析式，
（2）根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的極值的關系即可求出．

解答 解：（1）f′（x）=x²+2ax-b，
∴由題意可知：f′（1）=-4且f（1）=-$\frac{11}{3}$
即$\left\{\begin{array}{l}{1+2a-b=-4}\\{\frac{1}{3}+a-b=-\frac{11}{3}}\end{array}\right.$       解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x
（2）f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3）
令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=3，
當f′（x）＞0，即x＜-1或x＞3，函數(shù)單調遞增，
當f′（x）＜0，即-1＜x＜3，函數(shù)單調遞減，
∴當x=-1時，f（x）取極大值$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義和導數(shù)和函數(shù)極值的關系，屬于中檔題．