Question

20．如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁=4，D是棱AA₁上的一點，M，N分別為BC₁AB，的中點．
（1）求證：MN∥平面DCC₁；
（2）當D為AA₁的中點時，求三棱錐D-ACN的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AC₁，由M，N分別為AB，BC₁的中點，得MN∥AC₁，再由線面平行的判定定理可得MN∥平面DCC₁；
（2）當點D為AA₁的中點時，AD=2，由題意有AA₁⊥平面ABC，再由線面垂直的判定可得BC⊥平面A₁ACC₁，然后利用等積法可得三棱錐D-ACN的體積．

解答 （1）證明：如圖，連接AC₁，
∵M，N分別為AB，BC₁的中點，故MN∥AC₁，
又AC₁?平面DCC₁，MN?平面DCC₁，
故MN∥平面DCC₁；
（2）解：當點D為AA₁的中點時，AD=2，
又在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有AA₁⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，BC?平面ABC，∴AA₁⊥AC，AA₁⊥BC，
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，
而AA₁與AC為平面A₁ACC₁中兩相交直線，∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∵N為BC₁的中點，
∴${V}_{D-ACN}={V}_{N-ACD}=\frac{1}{2}{V}_{B-ACD}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}{S}_{△ACD}×BC=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2=\frac{2}{3}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．