Question

15．已知某棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的表面積為（　　）

• A． 2+$\sqrt{5}$
• B． 3+$\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． 2+$\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． 3+$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個以底面為正方形的三棱錐，高為2，累加各個面的面積可得，幾何體的表面積．

解答 解：由題意：可知該幾何體是一個以底面為正方形其邊長AB=1的三棱錐，高AS為2，（如圖）
AS⊥平面ABCD，
∴AC=$\sqrt{2}$，SD=SB=$\sqrt{5}$，
∵AD⊥CD，
∴SD⊥CD（三垂線定理）
∴△SDC是直角三角形．
同理：SB⊥CB，
∴△SBC是直角三角形．
平面SDC的表面積為：$\frac{1}{2}×$AD×SD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
平面ABS的表面積為：$\frac{1}{2}×$AS×AB=1，
平面ABD的表面積為：$\frac{1}{2}×$AS×AD=1，
平面SBC的表面積為：$\frac{1}{2}×$BS×CB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
平面ABCD表面積為：AB×BC=1
所以該幾何體的表面積為：3+$\sqrt{5}$．
故選D．

點評 本題考查了對三視圖的投影的認識和邊長之間的關系，由三視圖求體積和表面積，解決本題的關鍵是得到該幾何體的形狀．