Question

7．已知集合A={a₁，a₂，a₃，…a_n}，（0≤a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，n∈N^*，n≥3）具有性質P：對任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i，a_i-a_i至少有一個屬于A．
（1）分別判斷集合M={0，2，4}與N={1，2，3}是否具有性質P
（2）求證：
①a₁=0
②a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{n}{2}$a_n
（3）當n=3或4時集合A中的數列{a_n}是否一定成等差數列？說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用新定義，可以判斷集合M={0，2，4}具有性質P，N={1，2，3}不具有性質P；
（2）根據數列：a₁，a₂，…a_n（0≤a₁＜a₂…＜a_n），n≥3時具有性質P，對任意i，j（1≤i＜j≤n），a_j+a_i與a_j-a_i兩數中至少有一個是該數列中的一項
（3）確定a₁=0，再利用新定義，即可判斷具有性質P的集合A中的數列{a_n}是否一定成等差數列．

解答 （1）解：集合M={0，2，4}具有性質P，N={1，2，3}不具有性質P．
∵集合M={0，2，4}中，a_j+a_i與a_j-a_i（1≤i≤j≤2）兩數中都是該數列中的項，4-2是該數列中的項，
∴集合M={0，2，4}具有性質P；
N={1，2，3}中，3在此集合中，則由題意得3+3和3-3至少一個一定在，而3+3=6不在，所以3-3=0一定是這個集合的元素，而此集合沒有0，故不具有性質P；
（2）①數列中的最大項a_n，顯然a_n+a_n=2a_n不是數列中的項，則必有a_n-a_n=0屬于該數列，故0∈A，所以a₁=0，
②若數列A具有該性質P，設a_n是最大項，則具有性質ai+an（1＜i≤n，i∈N*），不在A中，則a_n-a_i是數列A中的項，則依題意：a_n-a_n＜a_n-a_n-1＜a_n-a_n-2＜…＜a_n-a₂＜a_n-a₁，則由給的數列A的性質可知；a_n-a_n=a₁，a_n-a_n-1=a₂，a_n-a_n-2=a₃，…a_n-a₂=a_n-1，a_n-a₁=a_n，將前面n個式子相加得：na_n-（a₁+a₂+a₃+…a_n-1+a_n）=a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n，故na_n=2（a₁+a₂+a₃+…a_n-1+a_n），
故a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{n}{2}$a_n
（3）解：n=3時，∵數列a₁，a₂，a₃具有性質P，0≤a₁＜a₂＜a₃
∴a₂+a₃與a₃-a₂至少有一個是該數列中的一項，
∵a₁=0，a₂+a₃不是該數列的項，∴a₃-a₂=a₂，∴a₁+a₃=2a₂，數列{a_n}一定成等差數列；
n=4時，∵數列a₁，a₂，a₃，a₄具有性質P，0≤a₁＜a₂＜a₃＜a₄，
∴a₃+a₄與a₄-a₃至少有一個是該數列中的一項，
∵a₃+a₄不是該數列的項，∴a₄-a₃=a₂，或a₄-a₃=a₃，
若a₄-a₃=a₂，則數列{a_n}一定成等差數列；若a₄-a₃=a₃，則數列{a_n}不一定成等差數列；

點評 本題考查數列的綜合應用，考查學生的應用知識分析、解決問題的能力，屬于難題