Question

2．如圖，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的虛軸長為2$\sqrt{2}$，點M（2，1）在C上，平行于OM的直線l交橢圓C于不同的兩點A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）證明：直線MA，MB與x軸總圍成等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）把b=$\sqrt{2}$代入橢圓方程，再把點M（2，1）代入求得a值，則橢圓方程可求；
（2）設出平行于OM的直線l的方程，聯立直線方程和橢圓方程，求出直線MA，MB的斜率，結合根與系數的關系證得直線MA，MB的斜率和為0得答案．

解答 （1）解：依題意$2b=2\sqrt{2}$，∴b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
將M（2，1）代入，得$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{2}=1$，解得a²=8，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）證明：設直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l：y=$\frac{1}{2}x$+m（m≠0），
則${k}_{1}=\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$，${k}_{2}=\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$，
∴k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}+\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-2）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$
=$\frac{（\frac{1}{2}{x}_{1}+m-1）（{x}_{2}-2）+（\frac{1}{2}{x}_{2}+m-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$
=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+（m-2）（{x}_{1}+{x}_{2}）-4（m-1）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$，（*）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得x²+2mx+2m²-4=0，
∴x₁+x₂=-2m，${x}_{1}{x}_{2}=2{m}^{2}-4$，
代入（*）式，得
k₁+k₂=$\frac{2{m}^{2}-4+（m-2）（-2m）-4（m-1）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$=$\frac{2{m}^{2}-4-2{m}^{2}+4m-4m+4}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$=0．
∴直線MA，MB與x軸總圍成等腰三角形．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，體現了“設而不求”的解題思想方法，是中檔題．