Question

9．某企業生產甲、乙兩種產品均需用A，B兩種原料，已知生產1噸每種產品所需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產1噸甲、乙產品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業每天可獲得最大利潤為多少？

	甲	乙	原料限額
A（噸）	3	2	12
B（噸）	1	2	8

Answer 1

分析 設每天生產甲乙兩種產品分別為x，y噸，利潤為z元，然后根據題目條件建立約束條件，得到目標函數，畫出約束條件所表示的區域，然后利用平移法求出z的最大值．

解答 解：設每天生產甲乙兩種產品分別為x，y噸，利潤為z元，
則 $\left\{\begin{array}{l}{3x+2y≤12}\\{x+2y≤8}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，
目標函數為 z=3x+4y．
作出二元一次不等式組所表示的平面區域（陰影部分）即可行域．
由z=3x+4y得y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$，
平移直線y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$，由圖象可知當直線y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$，
經過點B時，直線y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$的截距最大，
此時z最大，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y=12}\\{x+2y=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
即B的坐標為x=2，y=3，
∴z_max=3x+4y=6+12=18．
則每天生產甲乙兩種產品分別為2，3噸，能夠產生最大的利潤，最大的利潤是18萬元．

點評 此題考查了線性規劃的應用，建立約束條件和目標函數，利用數形結合是解本題的關鍵．