Question

14．已知偶函數f（x）（x≠0）的導函數f′（x），且滿足f（-1）=0，當x＞0時，2f（x）＞xf′（x），則使得f（x）＞0成立的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1）∪（0，1）
• B． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• C． （-1，0）∪（1，+∞）
• D． （-1，0）∪（0，1）

Answer 1

分析 構造函數設函數g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，利用導數得到，g（x）在（0，+∞）是增函數，再根據f（x）為偶函數，根據f（1）=f（-1）=0，解得f（x）＞0的解集．

解答 解：根據題意，設函數g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，
當x＞0時，g′（x）=$\frac{f（x）•x-2f（x）}{{x}^{3}}$，
所以函數g（x）在（0，+∞）上單調遞減，
又f（x）為偶函數，
所以g（x）為偶函數，
又f（-1）=0，所以g（1）=0，
故g（x）在（-1，0）∪（0，1）的函數值大于零，
即f（x）在（-1，0）∪（0，1）的函數值大于零．
故選：D．

點評 本題考查了抽象函數的奇偶性與單調性，考查了構造函數及數形結合的思想．解決本題的關鍵是能夠想到通過構造函數解決．