Question

1．設函數f（x）=2^x+$\frac{a}{2^x}$-1（a為實數）．
（1）當a=1時，判斷函數y=f（x）為奇偶性；
（2）對任意x∈R時f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據奇偶性的定義直接判斷即可．
（2）分離參數法，轉化成二次函數問題求解．

解答 解：（1）函數f（x）=2^x+$\frac{a}{2^x}$-1（a為實數）．
當a=1時，f（x）=2^x+2-^x-1，
∵f（-x）=2-^x+2^x-1=f（x），
∴y=f（x）為偶函數．
（2）由題意：函數f（x）=2^x+$\frac{a}{2^x}$-1（a為實數）．
任意x∈R時f（x）≥0，即2^x+$\frac{a}{2x}$-1≥0
?a≥2^x-（2^x）²，
令t=2^x＞0，則：a≥-t²+t（t＞0）．
對任意x∈R時f（x）≥0恒成立，只要當t＞0時，a≥（-t²+t）_max．
根據二次函數的圖象及性質：
可得：當t=$\frac{1}{2}$時，可得（-t²+t）_max=$\frac{1}{4}$，
∴a≥$\frac{1}{4}$．
故得a的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，+∞）．

點評 本題考查了函數的奇偶性的判斷和分離參數法轉化為二次函數問題解決恒成立問題．屬于中檔題．