Question

5．某廠有容量300噸的水塔一個，每天從早六點到晚十點供應生活和生產用水，已知：該廠生活用水每小時10噸，工業用水總量W（噸）與時間t（單位：小時，規定早晨六點時t=0）的函數關系為W=100$\sqrt{t}$，水塔的進水量有10級，第一級每小時水10噸，以后每提高一級，進水量增加10噸．若某天水塔原有水100噸，在供應同時打開進水管．問該天進水量應選擇幾級，既能保證該廠用水（即水塔中水不空），又不會使水溢出？

Answer 1

分析 解決本題的關鍵是水塔中的水不空又不會使水溢出，其存水量的平衡與進水量、選擇的進水級別與進水時間相關，而出水量有生活用水與工業用水兩部分構成，故水塔中水的存量是一個關于進水級別與用水時間的函數．因此設進水量選第n級，t小時后水塔中水的剩余量為：y=100+10nt-10t-100$\sqrt{t}$，且0≤t≤16．解0＜y≤300，-$\frac{10}{t}$+$\frac{10}{\sqrt{t}}$+1＜n≤$\frac{20}{t}$+$\frac{10}{\sqrt{t}}$+1對一切t∥（0，16]恒成立，即可得出結論．

解答 解析：設水塔進水量選擇第n級，在t時刻水塔中的水容量y等于水塔中的存水量100噸加進水量10nt噸，減去生產用水10t噸，在減去工業用水W=100$\sqrt{t}$噸，即y=100+10nt-10t-100$\sqrt{t}$（0＜t≤16）；…（4分）
若水塔中的水量既能保證該廠用水，又不會使水溢出，則一定有0＜y≤300．
即0＜100+10nt-10t-100$\sqrt{t}$≤300，…（6分）
所以-$\frac{10}{t}$+$\frac{10}{\sqrt{t}}$+1＜n≤$\frac{20}{t}$+$\frac{10}{\sqrt{t}}$+1對一切t∥（0，16]恒成立．…（8分）
因為-$\frac{10}{t}$+$\frac{10}{\sqrt{t}}$+1=$-10（\frac{1}{\sqrt{t}}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{7}{2}$≤$\frac{7}{2}$，$\frac{20}{t}$+$\frac{10}{\sqrt{t}}$+1=$20（\frac{1}{\sqrt{t}}+\frac{1}{4}）^{2}-\frac{1}{4}$≥$\frac{19}{4}$，…（11分）
所以$\frac{7}{2}≤n≤\frac{19}{4}$，即n=4．即進水選擇4級．…（12分）

點評 本題以函數在實際生活中的應用為例，考查了導數在最大值、最小值問題中的應用，屬于中檔題．著重考查數學建模的基本思想，怎么樣把實際問題轉化為數學問題，進而用已有的數學知識求這個問題的解．在解題過程中運用了化二元為一元，化為基本初等函數的數學思想．