Question

15．定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+2）=f（x），且在[-3，-2]上是減函數，若α，β是銳角三角形的兩個內角，則（　　）

• A． f（sinα）＞f（sinβ）
• B． f（sinα）＜f（cosβ）
• C． f（cosα）＜f（cosβ）
• D． f（sinα）＞f（cosβ）

Answer 1

分析 根據f（x+2）=f（x），所以函數的周期為2，在[-3，-2]上是減函數，可得f（x）在[-1，0]上為減函數，因為f（x）為偶函數，所以f（x）在[0，1]上為單調增函數．在根據α，β是銳角三角形的兩個內角，利用三角函數誘導公式化簡可得答案．

解答 解：由題意：可知f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期為2的函數，
∵f（x）在[-3，-2]上為減函數，
∴f（x）在[-1，0]上為減函數，
又∵f（x）為偶函數，根據偶函數對稱區間的單調性相反，
∴f（x）在[0，1]上為單調增函數．
∵在銳角三角形中，π-α-β＜$\frac{π}{2}$
∴π-α-β$＜\frac{π}{2}$，即$π＞α+β＞\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{2}$＞α＞$\frac{π}{2}$-β＞0，
∴sinα＞sin（$\frac{π}{2}-β$）=cosβ；
∵f（x）在[0，1]上為單調增函數．
所以f（sinα）＞f（cosβ），
故選：D．

點評 本題主要考查了函數的奇偶性和周期性的應用，以及三角函數的圖象和性質，綜合性較強，涉及的知識點較多．屬于中檔題．