Question

10．已知三棱錐S-ABC的各項(xiàng)頂點(diǎn)都在一個(gè)表面積為4π的球表面上，球心O在AB上，SO⊥平面ABC，AC=$\sqrt{2}$，則三棱錐S-ABC的表面積為2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)球的半徑為r，則4πr²=4π，解得r=1．由OC²+OA²=AC²，可得OC⊥OA．球心O在AB上，SO⊥平面ABC，可得SO⊥OC，進(jìn)而得到SA=SC=SB．再利用等邊三角形與直角三角形的面積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)球的半徑為r，則4πr²=4π，解得r=1．
∵OC²+OA²=2=AC²，∴OC⊥OA．
∵球心O在AB上，SO⊥平面ABC，∴SO⊥OC，
∴SA=SC=SB=$\sqrt{S{O}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴△SAC與△SBC都為邊長為$\sqrt{2}$的等邊三角形，
∴S_△SAC=S_△SBC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（\sqrt{2}）^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
S_△SAB=S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×1$=1．
則三棱錐S-ABC的表面積=2+$\sqrt{3}$．
故答案為：2+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、勾股定理的逆定理、等邊三角形的與直角三角形計(jì)算公式、球的表面積計(jì)算公式，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．