Question

3．a為參數，函數f（x）=（x+a）•3${\;}^{x-2+{a^2}}}$-（x-a）•3^8-x-3a是偶函數，則a可取值是2或-5．

Answer 1

分析 由函數為偶函數可得函數滿足f（-x）=f（x）對任意的x都成立，代入可求a．

解答 解：∵函數f（x）=（x+a）•3${\;}^{x-2+{a^2}}}$-（x-a）•3^8-x-3a是偶函數
∴f（-x）=f（x）對任意的x都成立
∴f（-1）=f（1）成立
即（-1+a）•${3}^{-3+{a}^{2}}$-（-1-a）•3^9-3a=（1+a）•${3}^{{a}^{2}-1}$-（1-a）•3^7-3a
∴（8a+10）（${3}^{-3+{a}^{2}}$-3^7-3a）=0
由f（-2）=f（2）成立同理可得，（80a+164）（3^6-3a-${3}^{-4+{a}^{2}}$）=0
∴a²-1=9-3a
∴a²+3a-10=0
∴a=2或a=-5
故答案為2或-5．

點評 本題主要考查偶函數的性質，即f（-x）=f（x）對定義域中的任意x滿足，屬于中檔題．