Question

14．以下五個關于圓錐曲線的命題中：
①雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}$=1與橢圓$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}$=1有相同的焦點；
②方程2x²-3x+1=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
③設A、B為兩個定點，K為常數，若|PA|-|PB|=K，則動點P的軌跡為雙曲線的一支；
④過拋物線y²=4x的焦點作直線與拋物線相交于A、B兩點，則使它們的橫坐標之和等于5的直線有且只有兩條；
⑤雙曲線x²-y²=1的頂點到其漸近線的距離等于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
其中真命題的序號為①④⑤（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析 ①求出雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}$=1與橢圓$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}$=1的焦點坐標，判定命題正確；
②求出方程2x²-3x+1=0的兩根，結合橢圓、雙曲線的離心率的范圍，判定命題錯誤；
③根據雙曲線的定義，判定命題錯誤；
④討論直線l的斜率不存在和斜率為0時都不符合題意，設l為y=k（x-1）與拋物線方程聯立消去y，得出A、B兩點的橫坐標之和，求得k的值，判定命題正確．
⑤求得雙曲線的a=b=1，求得頂點坐標，漸近線方程，運用點到直線的距離公式計算即可得到所求值．

解答 解：對于①，雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}$=1的焦點坐標是（-5，0）、（5，0），
橢圓$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}$=1的焦點坐標是（-5，0）、（5，0），
∴焦點相同，命題①正確；
對于②，方程2x²-3x+1=0的兩根是1和$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$可作為橢圓的離心率，1既不是橢圓的離心率，也不是雙曲線的離心率，∴命題②錯誤；
對于③，A、B是兩個定點，K為常數，
若|PA|-|PB|=K，則動點P的軌跡是雙曲線的一支，∴命題③錯誤；
對于④，過拋物線y²=4x的焦點F（1，0）作直線l與拋物線相交于A、B兩點，
當直線l的斜率不存在時，橫坐標之和等于2，不合題意；
當直線l的斜率為0時，只有一個交點，不合題意；
∴設直線l的斜率為k（k≠0），則直線l為y=k（x-1），
代入拋物線y²=4x得，k²x²-2（k²+2）x+k²=0；
∵A、B兩點的橫坐標之和等于5，
∴$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$=5，解得k²=$\frac{4}{3}$，
∴這樣的直線有且僅有兩條．命題④正確；
⑤雙曲線x²-y²=1的a=b=1，
可得頂點為（±1，0），
漸近線方程為y=±x，
即有頂點到漸近線的距離為d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，命題⑤正確．
綜上，正確的命題是①④⑤．
故答案為：①④⑤．

點評 本題通過命題真假的判定，考查了圓錐曲線的定義與簡單的幾何性質，直線與圓錐曲線的應用問題，是綜合題目．