Question

10．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=4$，sinB=cosAsinC，E為線段AC的中點，則$\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{EA}$的值為-1．

Answer 1

分析 由sinB=sin（A+C）便可得出cosC=0，進而得出$C=\frac{π}{2}$，畫出圖形，從而得到$\overrightarrow{EB}=-\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$，$\overrightarrow{EA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，這樣代入$\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{EA}$進行數量積的運算即可求出該數量積的值．

解答 解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC；
∴sinAcosC=0；
∴cosC=0，$C=\frac{π}{2}$，如圖：

$\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{EA}=[-\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）]•$$（-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}）$
=$\frac{1}{4}（\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}）$
=$\frac{1}{4}（-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+0）$
=-1．
故答案為：-1．

點評 考查兩角和的正弦公式，三角形內角的范圍，向量加法的平行四邊形法則，以及向量數乘的幾何意義，向量數量積的運算．