Question

9．函數f（x）=-x³+ax²-x-1在R上是單調函數，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． $（{-∞，-\sqrt{3}}]∪[{\sqrt{3}，+∞}）$
• B． $（{-∞，-\sqrt{3}}）∪（{\sqrt{3}，+∞}）$
• C． $[{-\sqrt{3}，\sqrt{3}}]$
• D． $（{-\sqrt{3}，\sqrt{3}}）$

Answer 1

分析 先求函數的導數，因為函數f（x）在（-∞，+∞）上是單調函數，所以在（-∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，再利用一元二次不等式的解得到a的取值范圍即可．

解答 解：f（x）=-x³+ax²-x-1的導數為f′（x）=-3x²+2ax-1，
∵函數f（x）在（-∞，+∞）上是單調函數，
∴在（-∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，
即-3x²+2ax-1≤0恒成立，
∴△=4a²-12≤0，解得-$\sqrt{3}$≤a≤$\sqrt{3}$，
∴實數a的取值范圍是[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]，
故選：C．

點評 本題主要考查函數的導數與單調區間的關系，以及恒成立問題的解法，屬于導數的應用．