Question

如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=2AB=2，E是線段PD上的點．
（1）若PB∥平面AEC，試確定點E在線段PD上的位置；
（2）若二面角E-AC-D的大小為45°，求PE：PD的值；
（3）在（2）的條件下，設點D在平面AEC上的射影為點Q，求點Q到直線AC的距離．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連結AC，BD，交于點O，連結OE，由O是BD中點，E是PD中點，得OE∥PB，由此能證明PB∥平面AEC．
（2）以A為原點，AC為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，設AC=a，利用向量法能求出PE：PD=1：3．
（3）E（

1

3

a，-

1

3

，

1

3

），平面AEC的法向量

n

=（0，

2

3

，

2

3

），D（a，-1，0），

DE

=（-

2

3

a，

2

3

，

1

3

），利用向量法能求出點D在平面AEC上的射影Q到直線AC的距離．

解答： 解：（1）當E為PD中點時，PB∥平面AEC．
證明如下：連結AC，BD，交于點O，連結OE，
∵ABCD是平行四邊形，∴O是BD中點，
∵E是PD中點，∴OE∥PB，
∵PB?平面AEC，OE?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
（2）以A為原點，AC為x軸，AB為y軸，AP為z軸，
建立空間直角坐標系，設AC=a，
A（0，0，0），B（0，1，0），P（0，0，2），
C（a，0，0），D（a，-1，0），
連結AD，交AC于O，連結EO，
若PB∥面AEC，則O為AC中點，且O為BD中點，
當E為PD中點時，OE∥PB，即PB∥平面AEC，
∴E為PO中點，
設

PE

PO

=λ，E（aλ，-λ，

1-λ

2

），

AE

=（aλ，-λ，

1-λ

2

），

AC

=（a，0，0），
面AEC法向量為

n

=（x，y，z），
∴

n • AE =aλx-λy+ 1-λ 2 z=0 n • AC =ax=0

，
取z=2λ，得

n

=（0，1-λ，2λ），
又面ACD的法向量

m

=（0，0，1），
∵二面角E-AC-D的大小為45°，
∴cos＜

m

，

n

＞=

2λ

(1-λ)2+4λ2

，解得λ=

1

3

，
∴PE：PD=1：3．
（3）E（

1

3

a，-

1

3

，

1

3

），平面AEC的法向量

n

=（0，

2

3

，

2

3

），D（a，-1，0），

DE

=（-

2

3

a，

2

3

，

1

3

），
∴D到平面AEC的距離d=

| n • DE |

| n |

=

2 3

2 3 2

=

2

2

，
D到AC的距離為CO=1，
∴點D在平面AEC上的射影Q到直線AC的距離為：

1-( 2 2 )2

=

2

2

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查滿足二面角為45°的線段比值的求法，考查點到直線的距離的求法，解題時要注意向量法的合理運用．