Question

已知函數f（x）=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|．
（1）作出函數f（x）的圖象，并求當x＞0時a^x＞f（x）恒成立的a取值范圍；
（2）關于x的方程kf²（x）-3kf（x）+6（k-5）=0有解，求實數k的取值范圍；
（3）關于x的方程f²（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6個不同的實數解，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,根的存在性及根的個數判斷

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：（1）f（x）=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=

- 2 x ，x∈(-∞，-1) -2x，x∈[-1，0) 2x，x∈(0，1] 2 x ，x∈(1，+∞)

，作出函數f（x）的圖象，依題意，得a^x＞f（x）_max=2，從而可求a取值范圍；
（2）原方程有解，等價于方程k（t²-3t+6）=30在t∈（0，2]上有解，分離參數k，利用基本不等式即可求得實數k的取值范圍；
（3）依題意，f²（x）+mf（x）+n=0有6個不同的解，數形結合可知必有f₁（x）=2和f₂（x）=t，t∈（0，2]，令u=f（x），則關于u的方程g（u）=u²+mu+n=0有一根為2，另一根在（0，2]間，解相應的不等式組即可．

解答： 解：（1）f（x）=

- 2 x ，x∈(-∞，-1) -2x，x∈[-1，0) 2x，x∈(0，1] 2 x ，x∈(1，+∞)

  …（2分）
（作圖如下：）
…（4分）
已知當x＞0時a^x＞f（x），即a^x＞f（x）_max=2⇒a＞2…（6分）
（2）kf²（x）-3kf（x）+6（k-5）=0有解，令f（x）=t，則t∈（0，2]…（7分）
即方程k（t²-3t+6）=30在t∈（0，2]上有解…（8分）
當t∈（0，2]時，t²-3t+6≠0，
∴k=

30

t2-3t+6

=

30

(t- 3 2 )2+ 15 4

∈（5，8]…（12分）
（3）關于x的方程f²（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6個不同的實數解，即f²（x）+mf（x）+n=0有6個不同的解，…（13分）
數形結合可知必有f₁（x）=2和f₂（x）=t，t∈（0，2]…（14分）
令u=f（x），則關于u的方程g（u）=u²+mu+n=0有一根為2，另一根在（0，2]間…（15分）
由

2m+n+4=0 g(0)＞ - m 2 ∈(0，2) m2-4n＞0

⇒m∈（-4，-2）…（18分）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查根的存在性及根的個數判斷，考查分類討論思想、等價轉化思想、方程思想與綜合運算能力，屬于難題．