Question

設n是給定的正整數，集合M={

1

2n

，

1

2n+1

，…，

1

22n

}，記M的所有子集分別為M₁，M₂，…，M_t，對1≤i≤t，用S（M_i）表示M_i中所有元素的和，規定S（φ）=0，則
①n=2時S（M₁）+S（M₂）+…+S（M₈）=

 

；
②n∈N^*時，S（M₁）+S（M₂）+…+S（M_t）=

 

．

Answer 1

考點：元素與集合關系的判斷

專題：計算題,集合

分析：由題意，①n=2時，M={

1

22

，

1

23

，

1

24

}，從而求和；
②n∈N^*時，對M的任一元素a，因為M共有2n-n+1=n+1個元素，故含有元素a的子集為2ⁿ個，故M的每一元素a在“總和”中均出現2ⁿ次，從而求和．

解答： 解：①n=2時，M={

1

22

，

1

23

，

1

24

}，
每個元素在子集中出現2²次，
故8個子集所有元素和總和為2²（

1

22

+

1

23

+

1

24

）=1+

1

2

+

1

4

=

7

4

；
②n∈N^*時，對M的任一元素a，因為M共有2n-n+1=n+1個元素，
故含有元素a的子集為2ⁿ個，
故M的每一元素a在“總和”中均出現2ⁿ次，
故S(M 1)+S(M2)+…+S(M2N+1)=2n(

1

2n

+

1

2 n+1

+…+

1

22n

)=2-

1

2n

；
故答案為：

7

4

，2-

1

2n

．

點評：本題考查了元素與集合的關系應用及集合的子集的列舉法應用，屬于基礎題．