Question

當a和b取遍所有實數時，f（a，b）=（2a+5-|cosb|）²+（2a-|sinb|）²的最小值為

 

．

Answer 1

考點：兩點間距離公式的應用

專題：直線與圓

分析：本體首先把題意的轉化搞清楚，進一步利用點到直線的距離求出結果．

解答： 解：f（a，b）=（2a+5-|cosb|）²+（2a-|sinb|）²的關系式，理解為：
點 （2a+5，2a）到點 （|cosb|，|sinb|）的距離的平方．
由于點 （2a+5，2a）是直線 y=x-5上的點
點 （|cosb|，|sinb|）是圓 x²+y²=1（x≥0，y≥0）在第一象限上的點
原題可轉化為 求 直線 y=x-5與圓x²+y²=1在第一象限部分距離的最小值．
事實就是求圓上的點到直線的距離的最小值．圓上的已知點（m，n）到直線 y=x-5的距離是：
d=

|m-n-5|

2

在圓上點（1，0）到直線y=x-5的距離最小．
即最小值為d=2

2

此時，f（a，b）有最小值=8
故答案為：8

點評：本題考查的知識要點：兩點間的距離關系式，點到直線的距離關系式的應用轉化問題，屬于基礎題型．