Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于點E，F是線段PC中點，G為線段EC中點．
（Ⅰ）求證：FG∥平面PBD；
（Ⅱ）求證：BD⊥FG．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）連接PE，G，F為EC和PC的中點，得到FG∥PE，利用線面平行的判定定理可證；
（Ⅱ）利用菱形的性質得到BD⊥AC，再由PA⊥面ABCD，得到BD⊥PA，結合線面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC，進一步由線面垂直的性質得到所證．

解答： 證明：（Ⅰ）連接PE，G、F為EC和PC的中點，

∴FG∥PE，FG?平面PBD，PE?平面PBD，
∴FG∥平面PBD…（6分）
（Ⅱ）∵菱形ABCD，∴BD⊥AC，
又PA⊥面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA，
∵PA?平面PAC，AC?平面PAC，且PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，FG?平面PAC，
∴BD⊥FG…（14分）

點評：本題考查了線面平行的判定定理的運用和線面垂直的判定定理和性質定理的運用，關鍵是熟練相關的定理．