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9.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$,且經過點(2,0)
(Ⅰ)求橢圓C的方程
(Ⅱ)若與坐標軸不垂直的直線l經過橢圓C的左焦點F(-c,0),且與橢圓C交于不同兩點A,B,問是否存在常數λ,(λ為實數),使|AB|=λ|AF||BF|恒成立,若存在,請求出λ的值,若不存在,請說明理由.

分析 (Ⅰ)由題意,a=2,c=$\sqrt{3}$,b=1,即可求橢圓C的方程;
(Ⅱ)直線l的方程為x=my-$\sqrt{3}$,與橢圓方程聯立,消去x得:(m2+4)y2-2$\sqrt{3}$my-1=0,利用弦長公式、一元二次方程的根與系數的關系,即可得出結論.

解答 解:(Ⅰ)由題意,a=2,c=$\sqrt{3}$,b=1,
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1;
(Ⅱ)F(-$\sqrt{3}$,0),設A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的方程為x=my-$\sqrt{3}$,
與橢圓方程聯立,消去x得:(m2+4)y2-2$\sqrt{3}$my-1=0,
y1+y2=$\frac{2\sqrt{3}m}{{m}^{2}+4}$,y1y2=-$\frac{1}{{m}^{2}+4}$,
∴|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y1-y2|=$\frac{4({m}^{2}+1)}{{m}^{2}+4}$,
∵|AF||BF|=|y1y2|(1+m2)=$\frac{1+{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$,
∴|AB|=4|AF||BF|,
∴存在常數λ=4,使|AB|=λ|AF||BF|恒成立.

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、弦長公式、一元二次方程的根與系數的關系,考查了分類討論方法、推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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視覺
聽覺
視覺記憶能力
偏低中等偏高超常
聽覺
記憶
能力
偏低0751
中等183b
偏高2a01
超常0211
由于部分數據丟失,只知道從這40位學生中隨機抽取一個,視覺記憶能力恰為中等,且聽覺記憶能力為中等或中等以上的概率為$\frac{2}{5}$.
(1)試確定a、b的值;
(2)將抽取所得學生的頻率視為概率,從該地區高二年級學生中任意抽取3人,設具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學生人數為ξ,求隨機變量ξ的分布列與數學期望Eξ及方差Dξ.

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(1)已知f(x)=lnx,求函數f(x)在[e,e2]上的幾何平均數;
(2)若函數f(t)=-2t2-at+1(a<-1)在區間[$\frac{1}{2}$,1]上的幾何平均數為$\frac{{\sqrt{{a^2}+8}}}{2}$,求實數a的值.

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