Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且經過點（2，0）
（Ⅰ）求橢圓C的方程
（Ⅱ）若與坐標軸不垂直的直線l經過橢圓C的左焦點F（-c，0），且與橢圓C交于不同兩點A，B，問是否存在常數λ，（λ為實數），使|AB|=λ|AF||BF|恒成立，若存在，請求出λ的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l的方程為x=my-$\sqrt{3}$，與橢圓方程聯立，消去x得：（m²+4）y²-2$\sqrt{3}$my-1=0，利用弦長公式、一元二次方程的根與系數的關系，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）由題意，a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（Ⅱ）F（-$\sqrt{3}$，0），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為x=my-$\sqrt{3}$，
與橢圓方程聯立，消去x得：（m²+4）y²-2$\sqrt{3}$my-1=0，
y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{3}m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{1}{{m}^{2}+4}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|=$\frac{4（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+4}$，
∵|AF||BF|=|y₁y₂|（1+m²）=$\frac{1+{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$，
∴|AB|=4|AF||BF|，
∴存在常數λ=4，使|AB|=λ|AF||BF|恒成立．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、弦長公式、一元二次方程的根與系數的關系，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．