Question

4．某地區對高一年級學生的瞬時記憶能力進行調查，瞬時記憶能力包括聽覺記憶能力與視覺記憶能力．現隨機抽取某學校高一學生共40人，下表為該批學生瞬時記憶能力的調查結果．例如表中聽覺記憶能力為中等，且視覺記憶能力偏高的學生為3人．

視覺 聽覺		視覺記憶能力
		偏低	中等	偏高	超常
聽覺 記憶 能力	偏低	0	7	5	1
	中等	1	8	3	b
	偏高	2	a	0	1
	超常	0	2	1	1

由于部分數據丟失，只知道從這40位學生中隨機抽取一個，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的概率為$\frac{2}{5}$．
（1）試確定a、b的值；
（2）將抽取所得學生的頻率視為概率，從該地區高二年級學生中任意抽取3人，設具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學生人數為ξ，求隨機變量ξ的分布列與數學期望Eξ及方差Dξ．

Answer 1

分析 （1）由表格數據可知，視覺記憶能力恰為中等且聽覺記憶能力為中等或中等以上的學生共有（10+a）人，記“視覺記憶能力恰為中等且聽覺記憶能力為中等閾 中等以上”為事件A，由等可能事件概率計算公式能求出a=6，從而得到b=2．
（2）由于從40位學生中任取3位，其中具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學生共有24人，故概率為$\frac{3}{5}$，從而ξ～B（3，$\frac{3}{5}$），由此能求出結果．

解答 解：（1）由表格數據可知，視覺記憶能力恰為中等且聽覺記憶能力為中等或中等以上的學生共有（10+a）人，
記“視覺記憶能力恰為中等且聽覺記憶能力為中等閾 中等以上”為事件A，
則P（A）=$\frac{10+a}{40}=\frac{2}{5}$，解得a=6，
∴b=40-（32+a）=40-38=2．
∴a=6，b=2．
（2）由于從40位學生中任取3位，其中具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學生共有24人，
故概率為$\frac{3}{5}$，
∴從該地區高二年級學生中任意抽取3人，
其中恰有k位學生具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的概率P（ξ=k）=${C}_{3}^{k}（\frac{3}{5}）^{k}（\frac{2}{5}）^{3-k}$，（k=0，1，2，3），
ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=（$\frac{2}{5}$）³=$\frac{8}{125}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{3}{5}）（\frac{2}{5}）^{2}=\frac{36}{125}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{3}{5}）^{2}（\frac{2}{5}）=\frac{54}{125}$，
P（ξ=3）=（$\frac{3}{5}$）³=$\frac{27}{125}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

∵ξ～B（3，$\frac{3}{5}$），∴Eξ=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$，Dξ=3×$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{18}{25}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質的合理運用．