Question

5．全集U=R，函數f（x）=$\frac{1}{\sqrt{sinx-\frac{1}{2}}}$+lg（2-x²）的定義域為集合A，集合B={x|x²-a＜0}．
（1）求∁_UA；
（2）若A∪B=A，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據二次根式以及對數函數的性質求出集合A，從而求出A的補集即可；
（2）通過討論B是空集和B不是空集判斷即可．

解答 解：（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{sinx-\frac{1}{2}＞0}\\{2{-x}^{2}＞0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{π}{6}$＜x＜$\sqrt{2}$，
∴A={x|$\frac{π}{6}$＜x＜$\sqrt{2}$}，
故∁_UA=（-∞，$\frac{π}{6}$]∪[$\sqrt{2}$，+∞）；
（2）當B=∅即a≤0時，滿足A∪B=A，
當B≠∅即a＞0時，B={x|-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$}，
A∪B=A，故B⊆A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{6}≤-\sqrt{a}}\\{\sqrt{a}≤\sqrt{2}}\end{array}\right.$，無解，
綜上，a的范圍是{a|a≤0}．

點評 本題考查了對數函數和二次根式的性質，考查集合的運算，是一道中檔題．