Question

13．已知$f（x）=x-{e^{\frac{x}{a}}}（a＞0）$．
（1）曲線y=f（x）在x=0處的切線恰與直線x-2y+1=0垂直，求a的值；
（2）若a=2，x∈[a，2a]求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）求導數，利用曲線y=f（x）在x=0處的切線恰與直線x-2y+1=0垂直，f′（0）=1-$\frac{1}{a}$，即可求a的值；
（2）若a=2，x∈[a，2a]，求導數，確定f（x）在[2，4]上單調遞減，即可求f（x）的最大值．

解答 解：（1）由$f（x）=x-{e^{\frac{x}{a}}}（a＞0）$，得：f′（x）=1-$\frac{1}{a}{e}^{\frac{x}{a}}$，…（2分）
則f′（0）=1-$\frac{1}{a}$，…（3分）
所以1-$\frac{1}{a}$=-2 得a=$\frac{1}{3}$．…（4分）
（2）a=2，$f（x）=x-{e^{\frac{x}{2}}}，x∈[2，4]，f'（x）=1-\frac{1}{2}{e^{\frac{x}{2}}}=0$（6分）
$\frac{1}{2}{e^{\frac{x}{2}}}=1，{e^{\frac{x}{2}}}=2，\frac{x}{2}=ln2，x=2ln2$（7分）
f（x）在（-∞，2ln2）上單調遞增，在（2ln2，+∞）上單調遞減    （8分）
又2ln2＜2                                           （9分）
∴f（x）在[2，4]上單調遞減                             （10分）
∴f（x）的最大值=2-e（12分）

點評 本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與最值，屬于中檔題．