Question

14．函數y=f（x），x∈D，若常數C滿足C＞0，且函數y=f（x）在x∈D上的值域是y=$\frac{C^2}{f（x）}$，在x∈D上的值域的子集，則稱函數f（x）在D上的幾何平均數為C．
（1）已知f（x）=lnx，求函數f（x）在[e，e²]上的幾何平均數；
（2）若函數f（t）=-2t²-at+1（a＜-1）在區間[$\frac{1}{2}$，1]上的幾何平均數為$\frac{{\sqrt{{a^2}+8}}}{2}$，求實數a的值．

Answer 1

分析 （1）根據新定義，值域是y=$\frac{C^2}{f（x）}$在x∈D上的值域的子集，則稱函數f（x）在D上的幾何平均數為C．
令y=f（x₁），則$f（{x}_{1}）•f（{x}_{2}）={C}^{2}$，我們易得若函數在區間D上單調遞增，則C應該等于函數在區間D上最大值與最小值的幾何平均，求解即可．
（2）根據對稱軸討論二次函數的最值，C應該等于函數在區間D上最大值與最小值的幾何平均，求解即可．

解答 解：根據新定義，關于函數f（x）在D上的幾何平均數為C的定義，
結合f（x）=lnx，在區間[e，e²]上單調遞增
則x₁=e時，存在唯一的x₂=e²與之對應
故CC²=lne×lne²=2，
∵C＞0，
故得C=$\sqrt{2}$
即函數f（x）在[e，e²]上的幾何平均數C=$\sqrt{2}$．
（2）函數f（t）=-2t²-at+1（a＜-1），
其對稱軸t=$-\frac{a}{4}$，圖象開口向下，
當$-\frac{a}{4}≤\frac{1}{2}$或$-\frac{a}{4}≥1$時，即-1＞a≥-2或a≤-4，
t在區間$[\frac{1}{2}，1]$上單調，
則x₁=$\frac{1}{2}$時，存在唯一的x₂=1與之對應，
根據已知中關于函數f（x）在D上的幾何平均數為C的定義，
幾何平均數C=f（$\frac{1}{2}$）•f（1）=$-\frac{1}{2}（1-a）（1+a）$
即$-\frac{1}{2}（1-a）（1+a）$=$\frac{{\sqrt{{a^2}+8}}}{2}$，
此時a不滿題意．
當$\frac{1}{2}$≤$-\frac{a}{4}≤1$時，即-1＞a≥-4．
此時的最大值為f（$-\frac{a}{4}$）=$\frac{{a}^{2}+8}{8}$，最小值為f（$\frac{1}{2}$）或f（1）．
幾何平均數C²=f（$\frac{1}{2}$）•f（$-\frac{a}{4}$）=$\frac{{a}^{2}+8}{4}$或幾何平均數C²=f（$-\frac{a}{4}$）•f（1）=$\frac{{a}^{2}+8}{4}$
此時a=$-\sqrt{3}$或a=3，滿足題意．
故得函數f（t）=-2t²-at+1（a＜-1）在區間[$\frac{1}{2}$，1]上的幾何平均數為$\frac{{\sqrt{{a^2}+8}}}{2}$，實數a的值為$-\sqrt{3}$或-3．

點評 本題考查了對新定義的理解和運用，以及二次函數的最值的討論與新定義法結合的化簡與計算．屬于中檔題．