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6.已知二階矩陣A有特征值λ1=3及其對應的一個特征向量$\overrightarrow{a}$1=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$,特征值λ2=-1及其對應的一個特征向量$\overrightarrow{a}$2=$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$,
(1)求矩陣A;  
(2)求矩陣A的逆矩陣A-1

分析 (1)利用特征值與特征向量的定義,建立方程組,即可求得A;
(2)求出|A|,即可求得逆矩陣A-1

解答 解:(1)設A=$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&p9vv5xb5\end{array}]$,則
∵二階矩陣A有特征值λ1=3及其對應的一個特征向量$\overrightarrow{a}$1=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$,特征值λ2=-1及其對應的一個特征向量$\overrightarrow{a}$2=$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$,
∴$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&p9vv5xb5\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$=3$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$,$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&p9vv5xb5\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$=-$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{c+d=3}\end{array}\right.$且$\left\{\begin{array}{l}{a-b=-1}\\{c-d=1}\end{array}\right.$,
∴a=1,b=2,c=2,d=1,
∴A=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{1}\end{array}]$;
(2)|A|=1-4=-3,
∴A-1=$[\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}}&{\frac{2}{3}}\\{\frac{2}{3}}&{-\frac{1}{3}}\end{array}]$.

點評 本題主要考查了二階矩陣,以及特征值與特征向量的計算,考查逆矩陣,正確理解特征值與特征向量是關鍵,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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