Question

15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c．已知$\frac{c}{2}$=b-acosC．
（1）求角A的大小；
（2）若a=$\sqrt{15}$，b=4，求邊c的大小．

Answer 1

分析 （1）直接利用余弦定理化簡已知條件，然后求角A的余弦函數值，即可求解；
（2）由已知利用余弦定理可得c²-4c+1=0，即可解得c的值．

解答 解：（1）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若$\frac{c}{2}$=b-acosC=b-a$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
可得2b²-bc=a²+b²-c²，即c²+b²-bc=a²，又由余弦定理c²+b²-2bccosA=a²，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=60°．
（2）∵a=$\sqrt{15}$，b=4，A=60°，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：15=16+c²-2×$4×c×\frac{1}{2}$，整理可得：c²-4c+1=0，
∴解得：c=2±$\sqrt{3}$．

點評 本題考查余弦定理在解三角形中的應用，考查分析問題解決問題的能力，考查了轉化思想，屬于基礎題．