Question

2．設函數f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）+sin（ωx-$\frac{π}{2}$），其中0＜ω＜3，已知f（$\frac{π}{6}$）=0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）將函數y=f（x）的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求g（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等變換化函數f（x）為正弦型函數，根據f（$\frac{π}{6}$）=0求出ω的值；
（Ⅱ）寫出f（x）解析式，利用平移法則寫出g（x）的解析式，求出x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]時g（x）的最小值．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）+sin（ωx-$\frac{π}{2}$）
=sinωxcos$\frac{π}{6}$-cosωxsin$\frac{π}{6}$-sin（$\frac{π}{2}$-ωx）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{3}{2}$cosωx
=$\sqrt{3}$sin（ωx-$\frac{π}{3}$），
又f（$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{6}$ω-$\frac{π}{3}$）=0，
∴$\frac{π}{6}$ω-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
解得ω=6k+2，
又0＜ω＜3，
∴ω=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
將函數y=f（x）的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數y=$\sqrt{3}$sin（x-$\frac{π}{3}$）的圖象；
再將得到的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位，得到y=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$）的圖象，
∴函數y=g（x）=$\sqrt{3}$sin（x-$\frac{π}{12}$）；
當x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]時，x-$\frac{π}{12}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（x-$\frac{π}{12}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴當x=-$\frac{π}{4}$時，g（x）取得最小值是-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=-$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了三角恒等變換與正弦型函數在閉區間上的最值問題，是中檔題．