Question

7．在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，焦距為2．
（Ⅰ）求橢圓E的方程．
（Ⅱ）如圖，動直線l：y=k₁x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$交橢圓E于A，B兩點，C是橢圓E上的一點，直線OC的斜率為k₂，且k₁k₂=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，M是線段OC延長線上一點，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半徑為|MC|，OS，OT是⊙M的兩條切線，切點分別為S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值時直線l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得關于a，b，c的方程組，求解方程組得a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立直線方程與橢圓方程，利用根與系數的關系求得A，B的橫坐標的和與積，由弦長公式求得|AB|，由題意可知圓M的半徑r，則r=$\frac{2}{3}|AB|=\frac{2\sqrt{2}}{3}\frac{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}\sqrt{1+8{{k}_{1}}^{2}}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$．由題意設知${k}_{2}=\frac{\sqrt{2}}{4{k}_{1}}$．得到直線OC的方程，與橢圓方程聯立，求得C點坐標，可得|OC|，由題意可知，sin$\frac{∠SOT}{2}$=$\frac{r}{r+|OC|}=\frac{1}{1+\frac{|OC|}{r}}$．轉化為關于k₁的函數，換元后利用配方法求得∠SOT的最大值為$\frac{π}{3}$，取得最大值時直線l的斜率為${k}_{1}=±\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{2c=2}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=1．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y={k}_{1}x-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，得$（4{{k}_{1}}^{2}+2）{x}^{2}-4\sqrt{3}{k}_{1}x-1=0$．
由題意得△=$64{{k}_{1}}^{2}+8$＞0．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2\sqrt{3}{k}_{1}}{2{{k}_{1}}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{1}{2（2{{k}_{1}}^{2}+1）}$．
∴|AB|=$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{2}•\frac{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}\sqrt{1+8{{k}_{1}}^{2}}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$．
由題意可知圓M的半徑r為
r=$\frac{2}{3}|AB|=\frac{2\sqrt{2}}{3}\frac{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}\sqrt{1+8{{k}_{1}}^{2}}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$．
由題意設知，${k}_{1}{k}_{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，∴${k}_{2}=\frac{\sqrt{2}}{4{k}_{1}}$．
因此直線OC的方程為$y=\frac{\sqrt{2}}{4{k}_{1}}x$．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{4{k}_{1}}x}\end{array}\right.$，得${x}^{2}=\frac{8{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}，{y}^{2}=\frac{1}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$．
因此，|OC|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{\frac{1+8{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}}$．
由題意可知，sin$\frac{∠SOT}{2}$=$\frac{r}{r+|OC|}=\frac{1}{1+\frac{|OC|}{r}}$．
而$\frac{|OC|}{r}=\frac{\sqrt{\frac{1+8{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}\frac{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}\sqrt{1+8{{k}_{1}}^{2}}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}\frac{1+2{{k}_{1}}^{2}}{\sqrt{1+4{{k}_{1}}^{2}}\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$．
令t=$1+2{{k}_{1}}^{2}$，則t＞1，$\frac{1}{t}$∈（0，1），
因此，$\frac{|OC|}{r}=\frac{3}{2}\frac{t}{\sqrt{2{t}^{2}+t-1}}=\frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt{2+\frac{1}{t}-\frac{1}{{t}^{2}}}}$=$\frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt{-（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}}}$≥1．
當且僅當$\frac{1}{t}=\frac{1}{2}$，即t=2時等式成立，此時${k}_{1}=±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$sin\frac{∠SOT}{2}≤\frac{1}{2}$，因此$\frac{∠SOT}{2}≤\frac{π}{6}$．
∴∠SOT的最大值為$\frac{π}{3}$．
綜上所述：∠SOT的最大值為$\frac{π}{3}$，取得最大值時直線l的斜率為${k}_{1}=±\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查直線與圓、圓與橢圓位置關系的應用，訓練了利用配方法求函數的最值，考查計算能力，是壓軸題．