Question

13．如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中點．
（1）證明：直線CE∥平面PAB；
（2）點M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M-AB-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取PA的中點F，連接EF，BF，通過證明CE∥BF，利用直線與平面平行的判定定理證明即可．
（2）利用已知條件轉化求解M到底面的距離，作出二面角的平面角，然后求解二面角M-AB-D的余弦值即可．

解答 （1）證明：取PA的中點F，連接EF，BF，因為E是PD的中點，
所以EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AD，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥$\frac{1}{2}$AD，
∴BCEF是平行四邊形，可得CE∥BF，BF?平面PAB，CE?平面PAB，
∴直線CE∥平面PAB；
（2）解：四棱錐P-ABCD中，
側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD，
∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中點．
取AD的中點O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，設AD=2，則AB=BC=1，OP=$\sqrt{3}$，
∴∠PCO=60°，直線BM與底面ABCD所成角為45°，
可得：BN=MN，CN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$MN，BC=1，
可得：1+$\frac{1}{3}$BN²=BN²，BN=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，MN=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
作NQ⊥AB于Q，連接MQ，
所以∠MQN就是二面角M-AB-D的平面角，MQ=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$
=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
二面角M-AB-D的余弦值為：$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．