Question

3．定義在R上的函數f（x），g（x），其中f（x）為奇函數，g（x）為偶函數，且f（x）+g（x）=a²x³+x²+a³（a≠0）
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）命題P：對任意x∈[1，2]，都有f（x）≥1，命題Q：存在x∈[-2，3]，使g（x）≥17，若P∨Q為真，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數的奇偶性列出方程組，轉化求解函數的解析式即可．
（2）求出兩個命題為真命題時，a的范圍，然后利用復合命題求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）+g（x）=a²x³+x²+a³①，
f（x）為奇函數，g（x）為偶函數，
-f（x）+g（x）=-a²x³+x²+a³②，
解得f（x）=a²x³，g（x）=x²+a³ a≠0，a∈R．
（2）若p真，f（x）_min≥1，x∈[1，2]，
∴a²≥1?a≥1或a≤-1，
若q真，g（x）_min≥17，
即9+a³≥17解得a≥2，
P∨Q為真，
則a的范圍為：（-∞，-1]∪[1，+∞]．

點評 本題考查命題的真假的判斷，函數的奇偶性的應用，函數的解析式的求法，考查計算能力．