Question

13．已知t＞0，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x{（x-t）}^{2}，x≤t\\ \frac{1}{4}x，x＞t\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（f（x）-1）恰有6個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（3，4）．

Answer 1

分析 若函數(shù)g（x）=f（f（x）-1）恰有6個(gè)不同的零點(diǎn)，則方程f（x）-1=0和f（x）-1=t各有三個(gè)解，即函數(shù)f（x）的圖象與y=1和y=t+1各有三個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而得到答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x{（x-t）}^{2}，x≤t\\ \frac{1}{4}x，x＞t\end{array}\right.$，
∴函數(shù)f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}（3x-t）{（x-t）}^{\;}，x≤t\\ \frac{1}{4}，x＞t\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜$\frac{t}{3}$，或x＜t時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)$\frac{t}{3}$＜x＜t時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)，
故當(dāng)x=$\frac{t}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）取極大值$\frac{4}{27}{t}^{3}$，
函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)0和t，
若函數(shù)g（x）=f（f（x）-1）恰有6個(gè)不同的零點(diǎn)，
則方程f（x）-1=0和f（x）-1=t各有三個(gè)解，
即函數(shù)f（x）的圖象與y=1和y=t+1各有三個(gè)零點(diǎn)，
由y|_x=t=$\frac{1}{4}x$=$\frac{t}{4}$，
故$\left\{\begin{array}{l}\frac{t}{4}＜1＜\frac{4}{27}{t}^{3}\\ \frac{t}{4}＜t+1＜\frac{4}{27}{t}^{3}\end{array}\right.$，
$\frac{4}{27}{t}^{3}-t-1$=$\frac{1}{27}$（t-3）（2t+3）²＞0得：t＞3，
故不等式的解集為：t∈（3，4），
故答案為：（3，4）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定定理，分段函數(shù)的應(yīng)用，難度中檔．