Question

5．在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：（x-2）²+（y-b）²=10，且圓C被x軸截得的弦長為2，
（1）求圓C的方程；
（2）若圓C的圓心在第一象限且直線y=kx+3（k＞0）與圓C相交于A，B兩點，求$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可令y=0，解得x，可得弦長，解方程可得b，進而得到圓方程；
（2）將直線y=kx+3（k＞0）和圓C：（x-2）²+（y-3）²=10聯立，可得x的方程，運用判別式大于0，韋達定理及向量的數量積的坐標表示，化簡整理，結合基本不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）圓C：（x-2）²+（y-b）²=10，且圓C被x軸截得的弦長為2，
可令y=0，解得x=2±$\sqrt{10-^{2}}$，
可得2$\sqrt{10-^{2}}$=2，解得b=±3，
可得圓C的方程為：（x-2）²+（y±3）²=10；
（2）由題意可得圓C：（x-2）²+（y-3）²=10，
將直線y=kx+3代入圓方程，可得（1+k²）x²-4x-6=0，
△=16+24（1+k²）＞0恒成立，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{4}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{6}{1+{k}^{2}}$，
因此y₁y₂=（kx₁+3）（kx₂+3）
=k²x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=-$\frac{6{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$+$\frac{12k}{1+{k}^{2}}$+9=$\frac{3{k}^{2}+12k+9}{1+{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=-$\frac{6}{1+{k}^{2}}$+$\frac{3{k}^{2}+12k+9}{1+{k}^{2}}$
=$\frac{3{k}^{2}+12k+3}{1+{k}^{2}}$=3+$\frac{12k}{1+{k}^{2}}$=3+$\frac{12}{k+\frac{1}{k}}$
≤3+$\frac{12}{2\sqrt{k•\frac{1}{k}}}$=9．
當且僅當k=1取得最大值9．
則$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$的取值范圍是（3，9]．

點評 本題考查圓的方程的求法，考查直線和圓的位置關系，注意聯立方程，運用韋達定理，同時考查向量數量積的坐標表示，以及運用基本不等式求最值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．