Question

9．向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$均為非零向量，（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，（$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{a}$）⊥$\overrightarrow{b}$，則$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夾角（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{5π}{6}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 根據平面向量垂直于數量積的定義，得出|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|≠0，再求出向量夾角的余弦值即可得出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夾角的大小．

解答 解：設向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夾角為θ，
由（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，得（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=0，
即${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0；
由（$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{a}$）⊥$\overrightarrow{b}$，得（$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{a}$）•$\overrightarrow{b}$=0，
即${\overrightarrow{b}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0；
∴|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|≠0，
∴cosθ=$\frac{{|\overrightarrow{a}|}^{2}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{2}$；
又θ∈[0，π]，
∴$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夾角為θ=$\frac{π}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查了平面向量的數量積與夾角的計算問題，是基礎題目．