Question

17．下列關于圓錐曲線的命題：
①設A，B為兩個定點，P為動點，若|PA|+|PB|=8，則動點P的軌跡為橢圓；
②設A，B為兩個定點，P為動點，若|PA|=10-|PB|，且|AB|=8，則|PA|的最大值為9；
③設A，B為兩個定點，P為動點，若|PA|-|PB|=6，則動點P的軌跡為雙曲線；
④雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{10}$=1與橢圓$\frac{{x}^{2}}{30}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同的焦點．
其中真命題的序號是②④．

Answer 1

分析 ①，根據橢圓的定義，當8＞|AB|時是橢圓；
②，利用橢圓的定義，求出a、c，|PA|的最大值為a+c；
③，利用雙曲線的定義判斷；
④，根據雙曲線、橢圓標準方程判斷．

解答 解：對于①，根據橢圓的定義，當k＞|AB|時是橢圓，∴故為假命題；
對于②，由|PA|=10-|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以動點P的軌跡為以A，B為焦點的圖象，且2a=10，2c=8，所以a=5，c=4，根據橢圓的性質可知，|PA|的最大值為a+c=5+3=9，所以為真命題．
對于③，設A，B為兩個定點，P為動點，若|PA|-|PB|=6，當6＜|AB|時，則動點P的軌跡為雙曲線，故為假命題；
對于④，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{10}$=1的焦點為（$±\sqrt{26}$，0），橢圓$\frac{{x}^{2}}{30}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的焦點（$±\sqrt{26}$，0），故為真命題．
故答案為：②④．

點評 本題考查了圓錐曲線的命題的真假判定，掌握圓錐曲線的定義是關鍵，屬于基礎題．