Question

14．如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，C為圓上任意一點(diǎn)，過C的切線分別與過A，B兩點(diǎn)的切線交于P，Q．求證：AB²=4AP•BQ．

Answer 1

分析 如圖所示，過P作BQ的垂線PD，垂足為D，證明四邊形ABDP為矩形，PQ=AP+BQ，AP=BD，AB=PD，在Rt△PQD中，利用勾股定理得：PQ²=PD²+QD²，化簡(jiǎn)即可證明結(jié)論．

解答 證明：如圖所示，過P作BQ的垂線PD，垂足為D．
∵AP，BQ，PQ切⊙O于A，B，C，
∴∠A=∠B=90°，AP=PC，CQ=BQ．
∴四邊形ABDP為矩形，PQ=AP+BQ，AP=BD，AB=PD．
在Rt△PQD中，利用勾股定理得：PQ²=PD²+QD²，
∴（AP+BQ）²=AB²+（BQ-AP）²．
∴AB²=4AP•BQ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓中切線的性質(zhì)，考查勾股定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．