Question

5．$f（x）=\frac{1}{2}（{cosx-sinx}）（{cosx+sinx}）+3a（{sinx-cosx}）+（{4a-1}）x$在$[{-\frac{π}{2}，0}]$上單調遞增，則實數a的取值范圍為[1，+∞）．

Answer 1

分析 求導數，利用函數單調遞增，導數大于等于0，即可得出結論．

解答 解：f′（x）=-sin2x+3a（cosx+sinx）+（4a-1），
設t=cosx+sinx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，y=-t²+3at+4a≥0恒成立，
∴a≥$\frac{{t}^{2}}{3t+4}$=$\frac{1}{4（\frac{1}{t}+\frac{3}{8}）^{2}-\frac{9}{16}}$，不等式右邊的最大值為1，
∴a≥1．
故答案為[1，+∞）．

點評 本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，正確求導是關鍵．