Question

在平面直角坐標系中，若

a

=（x-1，y），

b

=（x+1，y），且|

a

|+|

b

|=4．
（1）求動點Q（x，y）的軌跡C的方程
（2）過點P（0，3）的直線m與軌跡C交于A，B兩點．若A是PB的中點，求直線m的斜率．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由已知向量的坐標結合|

a

|+|

b

|=4可知動點Q（x，y）的軌跡是以（-1，0）和（1，0）為焦點，長軸長為4的橢圓，由此可得橢圓的標準方程；
（2）設出A，B的坐標，分別代入橢圓方程求得A的坐標，由直線的斜率公式得答案．

解答： 解：（1）∵

a

=（x-1，y），

b

=（x+1，y），且|

a

|+|

b

|=4，
∴

(x-1)2+y2

+

(x+1)2+y2

=4，
即動點Q（x，y）滿足到（-1，0）和（1，0）的距離的和為定值4．
∴動點Q（x，y）的軌跡是以（-1，0）和（1，0）為焦點，長軸長為4的橢圓，
由a=2，c=1得，b²=3，
∴軌跡C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設A（x₀，y₀），由題意知，B（2x₀，2y₀-3），
∵A，B都在橢圓上，
∴

x02

4

+

y02

3

=1，

4x02

4

+

(2y0-3)2

3

=1，
聯立解得：

x0=-1 y0= 3 2

或

x0=1 y0= 3 2

．
當A（-1，

3

2

）時，直線m的斜率為

3- 3 2

0+1

=

3

2

；
當A（1，

3

2

）時，直線m的斜率為

3- 3 2

0-1

=-

3

2

．
∴直線m的斜率為±

3

2

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了中點坐標公式的應用，考查了直線與圓錐曲線的關系，是中檔題．