Question

如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，將△AED，△BEF，△CFD分別沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三點重合于點P．
（Ⅰ）求證：平面PDE⊥平面PEF；
（Ⅱ）求P到平面DEF的距離．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知∠A=∠B=∠C=90°，PD⊥PE，PD⊥PF，PE⊥PF，由此能證明PD⊥平面PEF，平面PDE⊥平面PEF．
（Ⅱ）設(shè)P到平面DEF的距離為d，由V_P-DEF=V_D-PEF，能求出P到平面DEF的距離．

解答： （Ⅰ）證明：由已知四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
又折疊后A，B，C三點重合于點P，
∴PD⊥PE，PD⊥PF，PE⊥PF，
又PE∩PF=P，∴PD⊥平面PEF，…（4分）
又PD?平面PDE，
∴平面PDE⊥平面PEF．…（6分）
（Ⅱ）解：PD=2，PE=PF=1，EF=

2

，DE=DF=

5

，
S_△DEF=

1

2

×

2

×

5- 1 2

=

3

2

，設(shè)P到平面DEF的距離為d，
由V_P-DEF=V_D-PEF，得

1

3

×S_△DEF×d=

1

3

×S_△PEF×PD，…（9分）
∴

1

3

×

3

2

×d=

1

3

×

1

2

×1×1×2，∴d=

2

3

，
∴P到平面DEF的距離為

2

3

．…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．