Question

已知頂點在原點開口向右的拋物線C經過定點P（3，2

3

），斜率為2的直線l交拋物線C于A，B兩點，且|AB|=3

5

，求圓錐曲線C和直線l的方程．

Answer 1

考點：拋物線的標準方程,拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：利用拋物線的定義，可得拋物線方程，直線方程代入拋物線方程，利用韋達定理及弦長公式，即可求得直線方程．

解答： 解：∵頂點在原點開口向右的拋物線C經過定點P（3，2

3

），
∴y²=2px
即12=2p×3，p=2
∴拋物線方程為y²=4x；
設l的方程為y=2x+b，A（x₁y₁），B（x₂，y₂）
由y=2x+b代入y²=4x，消去y，整理得：4x²+4（b-1）x+b²=0，
則x₁+x₂=-（b-1），x₁x₂=

b2

4

，k=2，
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x 1x2]

=

(1+k2)[(b-1)2-b2]

=

(1+k2)(1-2b)

又∵|AB|=3

5

，∴1-2b=9，∴b=-4
故直線?的方程為y=2x-4，
綜上所述：圓錐曲線C的方程為y²=4x，直線l的方程為y=2x-4．

點評：本題考查拋物線的定義，考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查弦長的計算，屬于中檔題．