Question

函數(shù)y=

2x+1

x2-2x+2

在x∈（1，2]的值域?yàn)?div id="p9vv5xb5" class='quizPutTag' contenteditable='true'> 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用換元法，令2x+1=t，則x=

t-1

2

，再利用分離常數(shù)法化y=

2x+1

x2-2x+2

=

t

( t-1 2 )2-(t-1)+2

=

4t

t2-6t+13

=

4

t+ 13 t -6

，利用基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性求值域．

解答： 解：令2x+1=t，則x=

t-1

2

，
∵x∈（1，2]，則t∈（1，5]，
∴函數(shù)y=

2x+1

x2-2x+2

=

t

( t-1 2 )2-(t-1)+2

=

4t

t2-6t+13

=

4

t+ 13 t -6

，
∵t∈（1，5]，
∴t+

13

t

∈[2

13

，14），
故 t+

13

t

-6∈[2

13

-6，8），
故

4

t+ 13 t -6

∈（

1

2

，

4

2 13 -6

]，
即

4

t+ 13 t -6

∈（

1

2

，

13 +3

2

]，
故答案為：（

1

2

，

13 +3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的值域的方法，用到了換元法，分離常數(shù)法、基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性等，屬于難題．