Question

12．在平面直角坐標系中，橢圓C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α為參數），已知以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系．
（Ⅰ）把橢圓C的參數方程化為極坐標方程；
（Ⅱ）設A，B分別為橢圓C上的兩點，且OA⊥OB，求$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）橢圓C的參數方程消去參數，可得橢圓C普通方程，由此能求出橢圓的極坐標方程．
（Ⅱ）求出$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{4}+\frac{si{n}^{2}θ}{3}$，設A（ρ₁，θ₁），B（ρ₂，θ₂），則$\frac{1}{|OA{|}^{2}}+\frac{1}{|OB{|}^{2}}$=$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$
=$\frac{co{s}^{2}{θ}_{1}}{4}+\frac{si{n}^{2}{θ}_{1}}{3}$+$\frac{si{n}^{2}{θ}_{1}}{4}+\frac{co{s}^{2}{θ}_{1}}{3}$，由此能求出$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$的值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α為參數），
∴橢圓C普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
∴$\frac{（ρcosθ）^{2}}{4}+\frac{（ρsinθ）^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{4}+\frac{si{n}^{2}θ}{3}$，
設A（ρ₁，θ₁），B（ρ₂，θ₂），
則$\frac{1}{|OA{|}^{2}}+\frac{1}{|OB{|}^{2}}$=$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}{θ}_{1}}{4}+\frac{si{n}^{2}{θ}_{1}}{3}$+$\frac{co{s}^{2}（{θ}_{1}+\frac{π}{2}）}{4}+\frac{si{n}^{2}（{θ}_{1}+\frac{π}{2}）}{3}$
=$\frac{co{s}^{2}{θ}_{1}}{4}+\frac{si{n}^{2}{θ}_{1}}{3}$+$\frac{si{n}^{2}{θ}_{1}}{4}+\frac{co{s}^{2}{θ}_{1}}{3}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$．
∴$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$的值是$\frac{7}{12}$．

點評 本題考查曲線的極坐標方程的求法，考查代數式求值，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．