Question

設數列{a_n}是等比數列，a₁=C

3m 2m+3

•A

1 m-2

，公比q是（x+

1

4x2

）⁴的展開式中的第二項
（1）用n、x表示通項a_n與前n項和S_n
（2）當x=1時，求A_n=C

1 n

S₁+C

2 n

S₂+…+C

n n

S_n．

Answer 1

考點：二項式定理的應用,二項式系數的性質

專題：二項式定理

分析：（1）由條件求得 m=3，a₁=1，求得公比 q=x，從而求得通項a_n與前n項和S_n．
（2）當x=1時，S_n=n，用倒序相加法求得求得A_n=n•2^n-1，當x≠1時，S_n=

1-xn

1-x

，利用二項式系數的性質求得A_n=C

1 n

S₁+C

2 n

S₂+…+C

n n

S_n =

2n-(1+x)n

1-x

，綜上可得結論．

解答： 解：（1）由題意可得3m≤2m+3，m-2≥1，求得 m=3，a₁=1．
由于公比q是（x+

1

4x2

）⁴的展開式中的第二項，故q=

C

1 4

•

x

4

=x，∴a_n=x^n-1．
∴S_n=

n，x=1 1-xn 1-x ，x≠1

．
（2）當x=1時，S_n=n，A_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=0C_n⁰+1C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，
又∵A_n=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+（n-2）C_n^n-2+…+C_n¹+0C_n⁰，
∴上兩式相加得：2A_n=n（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）=n•2ⁿ，
∴A_n=n•2^n-1，
當x≠1時，S_n=

1-xn

1-x

，求A_n=C

1 n

S₁+C

2 n

S₂+…+C

n n

S_n =

C

1 n

•

1-x

1-x

+

C

2 n

•

1-x2

1-x

+

C

3 n

•

1-x3

1-x

+…+

C

n n

•

1-xn

1-x

 
=

1

1-x

[（

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

+…+

C

n n

）-（x

C

1 n

+x²

C

2 n

+x³

C

3 n

+…+xⁿ

C

n n

 ）]=

1

1-x

[2ⁿ-1-（1+x）ⁿ+1]=

2n-(1+x)n

1-x

．
綜上可得，A_n=

n•2n-1，x=1 2n-(1+x)n 1-x ，x≠1

．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，等比數列的前n項和公式，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于基礎題．