Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M是PB的任意一點
（1）證明面PAD⊥面PCD；
（2）若直線MC與面PCD所成角的余弦值為

3 10

10

，試求定點M的位置．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得CD⊥AD，CD⊥PA，從而CD⊥平面PAD，由此能證明面PAD⊥面PCD．
（2）以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出M是PB中點．

解答： （1）證明：∵AB∥DC，∠DAB=90°，
∴CD⊥AD，
∵PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA，
又AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，∴面PAD⊥面PCD．
（2）解：以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，
AP為z軸，建立空間直角坐標系，
由已知得P（0，0，1），D（1，0，0），
C（1，1，0），B（0，2，0），

PC

=(1，1，-1)，

PD

=（1，0，-1），
設平面PCD的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • PC =x+y-z=0 n • PD =x-z=0

，
取x=1，得

n

=（1，0，1），
設

PM

=t

PB

=t（0，2，-1）=（0，2t，-t），
設M（a，b，c），則

PM

=（a，b，c-1），
∴M（0，2t，1-t），

MC

=（1，1-2t，t-1），
∵直線MC與面PCD所成角的余弦值為

3 10

10

，
設直線MC與面PCD所成角為θ，
∴sinθ=

10

10

=|cos＜

MC

，

n

＞|=|

1+t-1

2 • 1+(1-2t)2+(t-1)2

|，
解得t=

1

2

，∴M是PB中點．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查滿足條件的點的位置的確定，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．
[余弦值為3

10

，更正為：余弦值是：

3 10

10

]