Question

20．已知函數f（x）=|x-1|-|2x|．
（1）解不等式f（x）＞-3；
（2）求函數y=f（x）的圖象與x軸圍成的三角形的面積．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可；
（2）畫出函數f（x）的圖象，求出交點的橫坐標，求出三角形的面積即可．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+x，x≤0}\\{1-3x，0＜x＜1}\\{-1-x，x≥1}\end{array}\right.$，
∵f（x）＞-3，
故x≤0時，由1+x＞-3，解得：x＞-4即-4＜x≤0，
當0＜x＜1時，由1-3x＞-3，解得：x＜$\frac{4}{3}$，即0＜x＜1，
當x≥1時，-1-x＞-3，解得：x＜2，即1≤x＜2，
故不等式的解集是（-4，2）；
（2）畫出函數f（x）的圖象，如圖所示：
，
可得函數f（x）的圖象與x軸交點的橫坐標分別是-1，$\frac{1}{3}$，
即函數f（x）的圖象與x軸圍成的三角形面積是$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×1=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查數形結合思想以及分類討論思想，是一道中檔題．