Question

15．甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結束．設甲每次投籃投中的概率為$\frac{1}{3}$，乙每次投籃投中的概率為$\frac{1}{2}$，且各次投籃互不影響．
（1）求甲獲勝的概率；
（2）求投籃結束時甲的投籃次數ξ的分布列
（3）ξ的期望和方差．

Answer 1

分析 （1）對甲投籃次數討論，得出甲獲勝的概率；
（2）利用相互獨立事件概率公式計算各種情況的概率，得出分布列；
（3）代入公式計算．

解答 解：設事件A表示甲投籃命中，事件B表示乙投籃命中，則P（A）=$\frac{1}{3}$，P（B）=$\frac{1}{2}$．
（1）若甲投籃一次，獲勝概率為P（A）=$\frac{1}{3}$，
若甲投籃兩次，獲勝概率為P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）P（A）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$，
若甲投籃三次，獲勝概率為P（$\overline{A}$）²P（$\overline{B}$）²P（A）=（$\frac{2}{3}$）²×（$\frac{1}{2}$）²×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{27}$，
∴甲獲勝的概率為$\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}$=$\frac{13}{27}$．
（2）ξ的可能取值為1，2，3，
則P（ξ=1）=P（A）+P（$\overline{A}$）P（B）=$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{2}{3}$；
P（ξ=2）=P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）P（A）+P（$\overline{A}$）²P（$\overline{B}$）P（B）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+（$\frac{2}{3}$）²×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{9}$，
P（ξ=3）=P（$\overline{A}$）²P（$\overline{B}$）²=（$\frac{2}{3}$）²×（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{9}$．
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	$\frac{2}{3}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$

（3）E（ξ）=1×$\frac{2}{3}$+2×$\frac{2}{9}$+3×$\frac{1}{9}$=$\frac{13}{9}$．
D（ξ）=（1-$\frac{13}{9}$）²×$\frac{2}{3}$+（2-$\frac{13}{9}$）²×$\frac{2}{9}$+（3-$\frac{13}{9}$）²×$\frac{1}{9}$=$\frac{38}{81}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列，屬于中檔題．